De ketting is zo zwak als de zwakste schakel (en dat zijn de scholen)

Leestijd: 11 minuten

Een model om de invloed van scholen te bepalen op de verspreiding van het SARS-CoV-2 virus met het huidige pakket van maatregelen voor de samenleving.

Gastblog van Hans Verwaart (in 1987 afgestudeerd aan de TU Delft, richting Civiele Techniek. De eerste jaren na afstuderen werkzaam geweest in milieu- en kwaliteitszorg en als coördinator van opleidingen in die richtingen. Daarna ca. 15 jaar werkzaam geweest als ICT-er). 

De ketting is zo sterk als de zwakste schakel. Kent u die uitdrukking? Uiteraard, deze wordt vaak gebruikt voor de betrouwbaarheid van uit componenten bestaande systemen. De uitdrukking blijkt echter ook van toepassing voor de verspreiding van het SARS-CoV-2 virus.

Stelt u zich eens voor:

De gehele Nederlandse bevolking als de ketting, die bestaat uit een aantal schakels. Dat zijn alle subgroepen van onze bevolking qua bezigheden en leeftijden, zoals bijv. ouderen, werkenden, scholieren en studenten, kroegtijgers, nachtbrakers, theaterliefhebbers, forensen met het OV, kerkgangers, sporters etc.

In dit artikel wordt met een model aangetoond, dat de snelheid van de verspreiding van Covid-19 in Nederland voornamelijk wordt bepaald door de hoogste verspreidingssnelheid van één subgroep. Die subgroep vormt daarmee dus de zwakste schakel, als men kijkt vanuit de kant van bestrijding van het virus. De verspreidingssnelheid wordt gekarakteriseerd door het Reproductiegetal R. Dit fenomeen blijkt ook te gelden voor subgroepen waarvoor geen maatregelen gelden of situaties waarbij delen van de bevolking zich niet of niet voldoende aan de maatregelen houden.

In het artikel wordt het model gepresenteerd aan de hand van een concreet voorbeeld, het nagenoeg ontbreken van maatregelen om de verspreiding op scholen te voorkomen, terwijl in de rest van de samenleving al weer een flink pakket gold sinds 15 oktober.

Achterhaald

De werkelijkheid heeft dit artikel inmiddels achterhaald. Want het pakket is opnieuw aangescherpt en wel op 15 december 00.00 uur voor het laatst, waarbij ook de scholen voor basis- en voortgezet onderwijs vanaf 16 december e.v. zijn gesloten. Daarbij is niet bekend gemaakt tot welk niveau de R zou moeten dalen. Dat was wel bij de maatregelen medio oktober het geval. Toen ging het om een daling naar 0,88. Overigens: het primaire doel van het sluiten van de scholen was het dwingen van de ouders om thuis te werken. Vooral in het basisonderwijs heeft deze maatregel, zo vlak voor Kerst, tot veel verbazing en verbijstering geleid.

In de presentatie voor de Tweede Kamer op 4 november heeft de heer Jaap van Dissel namens het OMT aangegeven dat zonder de maatregelen van september/oktober het reproductiegetal ongeveer 1,25 zal bedragen. De maatregelen hadden tot doel de R terug te brengen tot 0,88, dus onder de één. Dat betekende dat de verspreiding van het virus af zal gaan nemen. Van Dissel heeft daarbij ook aangegeven dat het verschil tussen scholen open houden en scholen sluiten een verschil op R heeft van 0,09. Zie ook de volgende figuur, de regels 3 en 5:

Fig.1

Verwachte ontwikkeling van het Reproductiegetal na maatregelenpakket en indicaties voor de gevolgen op R van de sluiting van scholen. Bron: Tweede-Kamerbriefing 4 november 2020 / Jaap van Dissel.

In dit artikel wordt beschreven, ondersteund door een rekenmodel, wat de effecten kunnen zijn van het maatregelenpakket van september/oktober in twee situaties: zonder (1) en mét (2) maatregelen voor scholieren / maatregelen op scholen.

We weten inmiddels dat de maatregelen van september/oktober aangescherpt zijn en de scholen gesloten. Dat betekent eigenlijk dat in theorie situatie (1) zich niet meer voordoet, maar dat sprake is van situatie (2). Het is echter nog te vroeg – op het moment van schrijven van dit artikel – om de effecten van het aangescherpte pakket te meten.

Door het aanscherpen van de maatregelen op 15 december lijkt dit artikel minder relevant, omdat de scholen inmiddels gesloten zijn.  In het stuk wordt echter een model gepresenteerd, dat gebruikt kan worden om de effectiviteit van maatregelen, die voor een beperkte groep worden genomen, op de verspreiding van het virus voor de gehele samenleving te beschrijven. Als voorbeeld is daarbij gekozen voor maatregelen voor scholen / scholieren.

Pakket van maatregelen

Dit artikel richt zicht niet op wat voor maatregelen genomen hadden kunnen worden. Naast de meest rigoureuze, sluiting dus, had hierbij gedacht kunnen worden aan een pakket waaronder het verbeteren van de ventilatie en luchtvochtigheid, vergroting mondkapjesplicht, verkleining van de klassen etc.

Bij berekeningen is ervan uitgegaan dat nieuwe besmettingen met name binnen de groepen plaatsvinden. Aangenomen is dat het maatregelenpakket voor de scholen tot dezelfde reproductiefactor leidt als voor de rest van de samenleving, dus een afname van 1,25 naar 0,88.

Effect van de maatregelen op R zonder maatregelen te nemen voor scholen

We nemen aan dat 20% van de Nederlandse bevolking bestaat uit kinderen en jongeren die naar een basisschool of het voortgezet onderwijs gaan, waarvoor geen aanvullende maatregelen gelden. Voor hen zal de R door de maatregelen dan ook niet veranderen, die blijft 1,25. Voor de overige 80% gelden die aanvullende maatregelen wel, en wordt aangenomen dat voor deze subgroep het reproductiegetal zal dalen van 1,25 naar 0,88.

Aangegeven zal worden:

1. het aantal besmettingen in relatie tot de uitgangssituatie;
2. het reproductiegetal R als functie van de tijdstappen, waarbij één tijdstap gelijk is aan vier dagen (dat is de incubatietijd tussen besmet worden en besmettelijk zijn);
3. een aantal conclusies.

In de volgende tabel wordt aangegeven hoe het aantal besmettingen en de R zich ontwikkelt bij een fictieve uitgangssituatie, waarbij  er 1.000 besmettingen zijn en iedereen zich aan de maatregelen houdt:

Tabel 1: Effect van een maatregelenpakket (scholen/scholieren uitgezonderd) op de verspreiding van de besmetting en het Reproductiegetal R voor 20 perioden (is 80 dagen).

• De 1e kolom geeft het volgnummer van een periode aan (één periode is dus vier dagen).
• De 2e kolom geeft het effect aan op de verspreiding zonder maatregelen, de uitgangssituatie.
• Voor de kolommen 2 t/m 4 geldt dat het aantal besmettingen in die periode gelijk is aan het aantal besmettingen in de voorgaande periode, vermenigvuldigd met de R uit de kop van de betreffende kolom.
• De 3e kolom geeft het effect aan voor de verspreiding onder de scholieren.
• De 4e kolom geeft het effect aan voor de verspreiding onder de rest van Nederland.
• De 5e kolom is het totaal aantal besmettingen, dus de som van de kolommen 3 en 4. Door afronding kan dit één meer of minder zijn dan de som van kolommen 3 en 4.
• De laatste kolom geeft de samengestelde R aan, te berekenen door het aantal besmettingen van die periode te delen door het aantal besmettingen van de voorgaande periode.

Verloop besmettingen

In de volgende figuur worden het verloop van de besmettingen in de situaties zonder maatregelen en alleen maatregelen voor de volwassenen (“rest samenleving”) getoond:

Fig.2 – Grafische weergaven van het verloop van het aantal besmettingen (Y-as) als functie van het aantal perioden (X-as) voor zowel de situatie geheel zonder maatregelen als met maatregelenpakket voor 80% van de bevolking uit tabel 1 en geen aanvullende maatregelen voor scholieren. Het “Aantal besmettingen” is daarbij gelijk aan de som van de besmettingen bij de scholieren en bij de rest van de samenleving. Links met de Y-as op gewone schaal en rechts met de Y-as op logaritmische schaal. In de rechterfiguur duidt een stijgende lijn erop dat de R groter is dan één, een dalende lijn juist op het tegenovergestelde.

Gekozen is om naast de aantallen besmettingen op de Y-as op gewone schaal ook deze grootheid weer te geven op logaritmische schaal. Dat laatste heeft als voordeel dat exponentiële groei dan gemakkelijker zichtbaar is, omdat het op logaritmische schaal een stijgende rechte lijn voorstelt. Om in de linkerfiguur duidelijk te maken dat de gele en groene lijn nagenoeg gelijk lopen, is de groene lijn gestippeld. In de rechterfiguur is duidelijk te zien dat de blauwe en groene lijn na periode 12 parallel blijven lopen, hetgeen betekent dat er t.o.v. de uitgangssituatie sprake is van dezelfde verspreidingssnelheid, zij het een constant aantal dagen vertraagd. 

Effect op besmettingen

Het effect van de maatregel is dat na invoering ervan het aantal nieuwe besmettingen in eerste instantie licht daalt, maar na ongeveer 20 dagen (bijna 5 cycli) weer boven de uitgangssituatie, 1.000, komt (zie kolom 5). Daarna treedt een verdere stijging op, die echter in de tijd steeds een vertraging heeft van bijna zeven cycli op de uitgangssituatie. Dat is mooi te zien aan de grafische weergave op logaritmische schaal. De blauwe en groene lijn lopen na een aantal perioden parallel.

Effect op R

De samengestelde R daalt eerst tot net onder de één (in fig.2 rechts is dat te zien aan een lichte daling van het totaal aantal besmettingen – de groene lijn), maar loopt dan naar de R-waarde toe uit de uitgangssituatie, in dit geval 1,25.

Conclusies

• Een pakket van maatregelen dat geen volledige invloed heeft op de breedte van de bevolking, zal niet in staat zijn de exponentiële groei van de verspreiding te stoppen.
• Zo’n pakket zorgt alleen voor een tijdelijke stabilisatie of daling van de samengestelde R (mogelijk zelfs tot onder de één) en de besmettingen, met andere woorden je “koopt” tijd voordat de verspreiding weer met dezelfde snelheid verder gaat. Dat zou bijvoorbeeld aantrekkelijk kunnen zijn indien er sprake is van een breed werkend vaccin, waarbij er echter wel een aantal weken nodig is om een groot deel van de bevolking in te enten.

Nota Bene: Hierbij dient wel te worden aangetekend, dat de groep scholieren eerder te maken krijgt met het bereiken van groepsimmuniteit, want hoe kleiner de groep, hoe eerder die is bereikt, hetgeen een verlagend effect op het reproductiegetal heeft. Hoe dichterbij de groepsimmuniteit, hoe groter de verlaging. Dat effect is in dit artikel niet meegenomen.

Effect van de maatregelen op R, nu wél met maatregelen voor scholen 

We nemen opnieuw aan dat 20% van de Nederlandse bevolking bestaat uit kinderen en jongeren die naar een basisschool of het voortgezet onderwijs gaan. De maatregelen voor scholen hebben een gelijkwaardig effect als de maatregelen voor de volwassenen. Dat betekent dat voor beide groepen het reproductiegetal daalt naar 0,88. In werkelijkheid zullen de respectievelijke reproductiegetallen nooit hetzelfde zijn, maar aangenomen wordt dat door de maatregelen de R voor de scholieren dichtbij die 0,88 komt te liggen, in ieder geval ook kleiner dan één wordt.

In het volgende tabel wordt aangegeven hoe het aantal besmettingen en de R zich ontwikkelt bij een fictieve uitgangssituatie, waarbij er 1.000 besmettingen zijn en iedereen zich aan de maatregelen houdt:

Tabel 2: Effect van een maatregelenpakket waar de scholen ook onder vallen op de verspreiding van de besmetting en het Reproductiegetal R voor een periode van 20 cycli = 80 dagen.

In de volgende figuur worden het verloop van de besmettingen in de situaties zonder maatregelen en maatregelen voor de volwassenen (“rest samenleving”) én scholen weergegeven. In de situatie zonder maatregelen zien we in de rechterfiguur een stijgende lijn voor het totale aantal besmettingen. En in de situatie met maatregelen voor elke groep zien we drie dalende lijnen, waaronder die voor het totaal aantal besmettingen:

Fig.3: Grafische weergaven van het verloop van het aantal besmettingen (Y-as) als functie van de periode (X-as) voor zowel de situatie zonder maatregelen als met maatregelen voor alle doelgroepen uit tabel 2. Links met de Y-as op gewone schaal en rechts met de Y-as op logaritmische schaal.

Effect op besmetting en R

We zien in fig.3 een ander patroon dan in fig.2. De lijn van de scholen (geel) die in fig.2 stijgend was, is nu dalend met dezelfde hellingshoek als de paarse en groene lijn. De samengestelde R daalt abrupt naar 0,88 en blijft dit gedurende alle periodes.

Conclusie

Een maatregelenpakket dat nu wél volledige invloed heeft op de breedte van de bevolking, inclusief de scholen / scholieren, is in staat om de exponentiële groei van de verspreiding te stoppen (als de samengestelde R kleiner dan één is).

Grafische weergave van het effect op R

In de volgende figuur wordt het verloop van R getoond in de situaties met maatregelen voor de volwassen bevolking, zonder en mét maatregelen voor scholen, zoals hierboven voor beide situaties uitgewerkt:

Fig.4 Grafische weergave van de waarde van het samengestelde reproductiegetal R uit tabel 1 (blauwe lijn – scholen geen maatregelen) en 2 (gele lijn – scholen wél maatregelen) met op de Y-as het reproductiegetal als functie van de periode (X-as). Op het moment dat de maatregelen ingaan valt een deel van de verspreidingsmogelijkheden weg en daalt de R scherp vanaf de uitgangssituatie (1,25) naar onder de 1 om daarna weer langzaam te stijgen naar de grootste waarde van de subgroepen, in de situatie dat voor scholieren geen maatregelen worden genomen.

In dit artikel is de verspreiding van SARS-CoV-2 in de tijd uitgewerkt aan de hand van het voorbeeld om wel of geen maatregelen voor scholieren te nemen. Dit model is echter algemeen geldig. Uiteindelijk zal bij een pakket maatregelen voor diverse subgroepen van onze bevolking, de verspreiding gedomineerd worden door de subgroep met de hoogste R.

Ontwikkeling van de R

Dit artikel sluit, na een kleine paragraaf over vaccinatie af met de ontwikkeling van de R in werkelijkheid. Maar allereerst kom ik terug op de bewering van het RIVM/OMT bij monde van Jaap van Dissel (Tweede-Kamerbriefing 4 november 2020) dat het sluiten van de scholen de R met 0,09 vermindert. Dit is een bewering die niet juist is. Afhankelijk van de omstandigheden kan dit elke waarde tussen nihil en 0,37 (1,25 minus 0,88) zijn. Er kan sprake zijn van de volgende omstandigheden:

1. Naast de scholen is er geen andere subgroep dan de “rest samenleving”; de samengestelde R gaat naar 0,88. De vermindering bedraagt dan het maximaal haalbare, 0,37. Dat is mooi. De winst is groot.
2. Naast de scholen is er wel een andere subgroep dan de “rest samenleving”; de samengestelde R gaat naar 1,10. De vermindering bedraagt 0,15, de winst is veel minder groot en de verspreiding blijft zich uitbreiden.
3. Naast de scholen is er wel een andere subgroep dan de “rest samenleving” bijvoorbeeld met R =1,25 waar niets aan gedaan wordt. De samengestelde R gaat dan naar 1,25. Er wordt tijd gekocht, voordat de verspreiding weer in dezelfde mate losbarst. De maatregelen op scholen lijken dan een tijdelijk effect te hebben gehad, maar de scholen blijken dan niet bepalend geweest voor de grootte van de uitbraak. Uiteindelijk wordt R alleen tijdelijk verminderd.

Hieruit volgt, dat je de effectiviteit van één maatregel of een maatregelenpakket voor één doelgroep nooit absoluut kan aanduiden, zonder met de context rekening te houden. Elk maatregelenpakket zal je in samenhang met maatregelen voor andere doelgroepen moeten bekijken.

Vaccinatie

Als er een goed werkend vaccin beschikbaar is, zal het vaccin de grootste klap kunnen uitdelen aan de verspreiding als het wordt toegediend aan mensen die behoren tot de subgroep met de hoogste R. De keuze die gemaakt is om eerst zorgpersoneel, ouderen en kwetsbaren in te enten heeft minder invloed op de verspreiding, maar kan wel zorgen voor minder druk op de zorginstellingen.

Hoe ontwikkelt de R zich in werkelijkheid?

In werkelijkheid blijkt van de snelle daling na invoering van de maatregelen in september resp. oktober geen sprake, dus het verwachte effect van de maatregelen is uitgebleven. De R is wel gezakt en tussen 19 oktober en 4 november onder de één geweest, maar lijkt niet verder te dalen en zelfs weer licht te stijgen en komt vanaf 20 november boven de één. Zou dat kunnen komen door de scholen? Onderstaande figuur geeft het verloop van R weer:

Fig.5. Verloop van R (bron: RIVM weekoverzicht 21 december 2020)

In het weekoverzicht is, naast een overzicht van alle positief geteste personen tussen 31 augustus en 14 december 2020, ook te zien hoe dit aantal zich ontwikkelt bij de verschillende leeftijdscategorieën. Bij de groep 10-19 jaar is te zien dat de piek in december significant hoger is dan de piek in oktober.  Dat geldt voor geen enkele andere categorie. Het reproductiegetal is voor deze subgroep dus duidelijk groter dan voor de rest van Nederland.

Fig.6. Piek positief geteste personen, links allen, rechts leeftijd 10-19 jaar  Bron: weekrapport RIVM 21 december 2020.

Het toepassen van het model laat zien dat we zonder extra maatregelen voor scholieren slechts een tijdelijke daling van het reproductiegetal mogen verwachten (zie fig. 4). In de praktijk zien we inderdaad dat de R onder de één is gezakt op 18 oktober, maar vanaf het dieptepunt 26 oktober (R-waarde volgens RIVM: 0,83) stijgt en thans weer boven de één ligt (fig. 5).

Figuur 6 en berichten in de media begin december dat steeds meer scholen tot na de Kerstvakantie hun deuren sluiten (en tot Kerst overgegaan zijn op online onderwijs), duiden erop dat het aantal positieve testuitslagen onder scholieren verder toeneemt. Inmiddels is door de aangescherpte maatregelen duidelijk dat de scholen na de Kerstvakantie nog tenminste twee weken dicht blijven.

Het model geeft een verklaring dat het zeer goed mogelijk is dat de toenemende verspreiding onder scholieren de huidige opwaartse trend van R veroorzaakt.

Conclusies

1. Toepassing van het in dit artikel beschreven model toont aan dat, indien geen aanvullende maatregelen op scholen worden genomen, het reproductiegetal niet verder daalt maar eerder zal stijgen, omdat het aandeel van die groep in de totale verspreiding steeds belangrijker wordt. Na de herfstvakantie zien we ook in werkelijkheid een toename van het aantal positieve testuitslagen in deze groep.
   
2. Het RIVM / OMT meent dat sluiten van scholen een verlagend effect op de samengestelde R heeft van 0,09. Dit is niet juist. Het is niet mogelijk de effectiviteit van een maatregelenpakket voor één doelgroep als een vast getal aan te duiden, zonder met de context rekening te houden. Elk maatregelenpakket zal je in samenhang met maatregelen voor andere doelgroepen moeten bekijken.
   
3. Meer in het algemeen: wanneer er een aantal maatregelen worden overwogen, zal het effect zijn dat het reproductiegetal na invoering van de maatregelen eerst scherp kan dalen, maar na een aantal perioden (van vier dagen) het niveau benadert van de R van de subgroep met de hoogste R.
   
4. Dit betekent dat het aantal nieuwe besmettingen eerst daalt, maar:
   1. Indien de subgroep met de hoogste R een R heeft die groter dan één is, dan zal het aantal nieuwe besmettingen niet blijven dalen, maar na een tijdje weer gaan stijgen.
   2. Indien de subgroep met de hoogste R een R heeft kleiner dan één, dan zal het aantal nieuwe besmettingen wel blijven dalen.

U heeft zojuist gelezen: De ketting is zo zwak als de zwakste schakel (en dat zijn de scholen).

Volg Maurice de Hond op Twitter | YouTube | Facebook | LinkedIn.